5.2 京大入試問題に挑戦 ～独創的な設定から本質を見抜く～
はじめに：京大物理からの挑戦状！
最後の挑戦の舞台は、京都大学だ！ 京大の物理入試問題は、東大と同様に高い思考力が求められるのはもちろんのこと、時には独創的 (Unique / Novel) で一見奇抜に見える設定が登場したり、物理現象のより根本的な理解や洞察力 (Insight) を試すような問題が出されたりすることもあるんだ。
しかし、どんなにユニークな設定の問題であっても、恐れることはない！ 落ち着いて状況を把握し、基本に立ち返って、これまで何度も練習してきた「力の図示」を行い、基本原理 (Fundamental principles) であるニュートンの法則や保存則などを適用していけば、必ず解法の糸口は見えてくる。物理法則の普遍性 (Universality) を信じて、挑戦してみよう！
挑戦問題：動く台の上でのばね付き物体の運動
【問題設定】
質量 $M$ の台が、なめらかな水平面上に静止している。台の上面もなめらかであり、台の左端には壁が固定されている。 この壁と質量 $m$ の小物体を、自然長 $l_0$、ばね定数 $k$ の軽いばねでつなぐ。 時刻 $t=0$ に、小物体を壁から距離 $l_0 + A$ の位置（ばねが $A$ だけ伸びた位置）で静かに放す。 その後の小物体と台の運動について、以下の問いに答えよ。水平右向きを正の向きとする。
図1：静かに放す瞬間の状態 (t=0)
(1) 小物体を放した直後 ($t=0$) の、小物体および台の加速度の大きさをそれぞれ求めよ。
(2) (発展) 小物体が運動を始めてから、最初にばねの長さが自然長 $l_0$ になった瞬間の、小物体および台の速さをそれぞれ求めよ。（ヒント：この系では水平方向の運動量が保存され、力学的エネルギーも保存されることを利用せよ。）
(3) (発展) この小物体と台からなる系全体の重心は、水平方向にはどのような運動をするか、理由とともに説明せよ。
解法のステップ（主に(1)について）
【ステップ１：状況の把握と注目物体】
なめらかな水平面上に置かれた台があり、その台の上でばねにつながれた小物体が運動する、という状況だね。床と台の間、台と小物体の間には摩擦がない。ばねは軽い。 (1)では、$t=0$ の瞬間の加速度を問われている。この瞬間、小物体も台も速度はゼロだ。 注目物体は「小物体 ($m$)」と「台 ($M$)」のそれぞれになる。
【ステップ２：力の図示（$t=0$ の瞬間）】
それぞれの物体に働く力を考えよう。特に水平方向の力が加速度を生む。
図2：$t=0$ における小物体と台に働く力（水平方向のみ図示）
- 小物体 $m$ に働く力（水平方向）：
- ばねからの弾性力 $F_{el}$：ばねは $A$ だけ伸びているので、自然長に戻ろうとして小物体を左向きに引く。大きさはフックの法則より $F_{el} = kA$。
- 台 $M$ に働く力（水平方向）：
- ばね（壁を通じて）から受ける力 $F'_{el}$：これは、小物体がばねを引く力（弾性力の反作用）が壁に伝わり、壁が台を押す力と考えることができる（少しややこしいが、作用・反作用を考えると結果的に）。向きは小物体がばねを引く向き（右向き）と同じになり、大きさは作用・反作用の法則から $F_{el}$ と同じ $kA$。右向き。
【ステップ３＆５：立式（運動方程式）】
それぞれの物体について、水平方向（右向きを正）の運動方程式 $ma=F_{合力}$ を立てよう。$t=0$ における小物体の加速度を $a_m$、台の加速度を $a_M$ とする。
- 小物体 $m$ の運動方程式：
$m a_m = -kA$ （弾性力は左向きなのでマイナス） - 台 $M$ の運動方程式：
$M a_M = +kA$ （弾性力の反作用は右向きなのでプラス）
【ステップ４＆７：計算と考察】
**(1) の答え：** 上の運動方程式から、それぞれの加速度の大きさが求まる。
- 小物体の加速度の大きさ：$|a_m| = \frac{kA}{m}$ （向きは左向き）
- 台の加速度の大きさ：$|a_M| = \frac{kA}{M}$ （向きは右向き）
放した瞬間、小物体は左に、台は右にそれぞれ加速し始めるんだね！
【ステップ５：発展問題 (2),(3) への挑戦】（考え方のヒント）
**(2) の考え方：**
小物体が自然長の位置に戻るということは、ばねの伸びがゼロになるということ。この過程で、系全体（小物体＋台＋ばね）に水平方向の外力は働いていない（ばねの力は内力）。したがって…
- 水平方向の運動量が保存される：初めの運動量はゼロなので、任意の時刻で $mv_m + Mv_M = 0$ が成り立つ。（$v_m, v_M$ はそれぞれの速度）
- 力学的エネルギーが保存される：摩擦がないので、(運動エネルギーの合計)＋(弾性エネルギー)＝一定。初めは $\frac{1}{2}kA^2$。自然長に戻ったときは弾性エネルギーはゼロで、運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_m^2 + \frac{1}{2}Mv_M^2$。
これら2つの保存則の式を連立して、$v_m$ と $v_M$ を求めることができるよ。
**(3) の考え方：**
系全体の重心の加速度 $a_G$ は、系に働く外力の合力 $F_{ext}$ と全体の質量 $m+M$ を使って、$(m+M)a_G = F_{ext}$ と表されるんだったね。この問題では、水平方向の外力はゼロ ($F_{ext}=0$)。ということは…？
【この問題から学べること】
- 複数の物体が相互作用しながら運動する場合でも、物体ごとに注目し、力を正確に図示して運動方程式を立てる、という基本は変わらない。
- 物体間にはたらく力（この場合はばねの力とその反作用）は内力であり、作用・反作用の関係にあることを理解する。
- （発展として）保存則（運動量保存、エネルギー保存）や重心の考え方が、問題を別の角度から解く強力な武器になることがある。
- 一見複雑な設定でも、基本法則を粘り強く適用すれば解き明かせる。
京大の問題には、このように基本法則の深い理解と、それを応用する思考力を試す良問が多いんだ。