ウルトラ先生の確率教室

第1章 場合の数 ～すべての場合を数え上げよう～

1-3: 組み合わせCombination ～選ぶだけで順番は関係ない～

前回は「順列Permutation」を学んだね。順列では、選んだものをどんな順番で並べるかがとても重要だった。例えば、A君とB君がリレーで走る順番は、「A君が1番、B君が2番」と「B君が1番、A君が2番」では違うものとして数えたよね。

今回のテーマは「組み合わせCombination」。組み合わせでは、順番は気にしないんだ。ただ「どのメンバーを選ぶか」だけが問題になる。例えば、掃除当番にA君とB君が選ばれた場合、「A君とB君」でも「B君とA君」でも、選ばれたメンバーは同じだから、同じ一組として数えるよ。

組み合わせCombination とは？

組み合わせCombination とは、異なるいくつかのものの中から、順番を考えずに一部を選んだときの、その「組」の総数のことだよ。

ポイントは「異なるもの」から「選ぶだけ」で、「順番は関係ない」という点だ。

日常ではこんな場面で使われるよ：

• クラスの代表を3人選ぶ（選ばれた3人に序列はない場合）
• 好きな果物をいくつか選んでフルーツポンチを作る（どの果物をどの順番で入れたかは関係ない）
• トランプのポーカーで、最初に配られる5枚の手札（手札の中でカードの順番は関係ないよね）

組み合わせの記号 C を使ってみよう

組み合わせの場合の数を表す記号もあるよ！

異なる $\mathbf{n}$ 個のものから 異なる $\mathbf{r}$ 個を選んで組を作る組み合わせの場合の数を、次のように書くよ。

$_n C_r \quad \text{または} \quad C(n, r) \quad \text{または} \quad \binom{n}{r}$

読み方は「エヌ・シー・アール」や「シー・エヌ・アール」、「$n$ 個から $r$ 個取るコンビネーション」などだよ。

計算方法は、対応する順列 $_n P_r$ を、選んだ $r$ 個のものの並び順 $r!$ で割るんだ。

$_n C_r = \frac{{}_n P_r}{r!} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-r+1)}{r \times (r-1) \times \dots \times 1}$

また、階乗を使うと次のようにも書けるよ。（階乗 $n!$ は、$n \times (n-1) \times \dots \times 1$ のこと。$0! = 1$ と約束するよ。詳しくは階乗のページでね！）

$_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

さっきの例題を記号で表すと…

• 例題1（3人から2人を選ぶ）： $n=3, r=2$ なので、
  $_3 C_2 = \frac{{}_3 P_2}{2!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り
• 例題2（4つのボールから3つを選ぶ）： $n=4, r=3$ なので、
  $_4 C_3 = \frac{{}_4 P_3}{3!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り

組み合わせの便利な性質

組み合わせには、計算を楽にしてくれる便利な性質があるよ。

• $_n C_r = {}_n C_{n-r}$

  例えば、5人の中から3人の代表を選ぶ ($ {}_5 C_3 $) のは、5人の中から代表に「選ばない」2人を選ぶ ($ {}_5 C_{5-3} = {}_5 C_2 $) のと同じ場合の数になるんだ。

  $_5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通り

  $_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。ほら、同じだね！

  計算するとき、$r$ が大きい場合は $n-r$ に置き換えると計算が楽になることがあるよ。（例：${}_{10} C_8$ より ${}_{10} C_2$ の方が計算しやすい）

• $_n C_0 = 1$

  $n$ 個のものから何も選ばない方法は、「選ばない」という1通りだけ。式で書くと $\frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$ となるよ（ここで $0!=1$ が使われる）。

• $_n C_n = 1$

  $n$ 個のものから $n$ 個全部を選ぶ方法は、「全部選ぶ」という1通りだけ。式では ${}_n C_n = {}_n C_{n-n} = {}_n C_0 = 1$ となるね。

• $_n C_1 = n$

  $n$ 個のものから1個を選ぶ方法は、$n$ 通りあるのは直感的にもわかるね。式では $\frac{n}{1} = n$ だ。

順列と組み合わせの使い分けは？

問題文をよく読んで、「選んだ後、それらを並べる必要があるか？」「順番が変わると違うものとして数えるべきか？」をしっかり考えよう！

組み合わせの練習問題

組み合わせの考え方、少しつかめてきたかな？「選ぶだけ！」という感覚を大切にしてね。

もっと組み合わせを体験してみたい？実際に選ぶ操作を試せるアプリもあるよ！