ウルトラ先生の確率教室

第1章 場合の数 ～すべての場合を数え上げよう～

1-4: 階乗Factorial（ビックリマーク「！」の秘密）

これまでの順列や組み合わせのページで、「$n!$」というビックリマークみたいな記号が出てきたのを覚えているかな？ 例えば、$_n P_n = n!$ とか、組み合わせの公式 ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ にも使われていたね。

この「！」は「階乗Factorial」という名前の数学の演算記号なんだ。今日はこの階乗について、詳しく見ていこう！

階乗Factorial とは？

階乗Factorial とは、1からある正の整数 $n$ までのすべての整数を掛け合わせたものをいうんだ。記号では $\mathbf{n!}$ と書くよ。

読み方は「$n$ のかいじょう」や、英語だと「エヌ ファクトリアル (n factorial)」だよ。

具体的に見てみよう！

• $1! = 1$
• $2! = 2 \times 1 = 2$
• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
• $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

このように、$n$ が大きくなるにつれて、$n!$ の値はものすごく急激に大きくなるんだ！例えば…

• $6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720$
• $7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5040$
• $10! = 10 \times 9 \times \dots \times 1 = 3,628,800$ (なんと360万以上！)

$n!$ は $n$ が増えると爆発的に大きくなるよ！

$0!$ (ゼロの階乗) はどうなるの？

「1から$n$まで掛ける」という説明だと、$0!$ は困ってしまうね。だって、1から0までの整数って…？

実は、数学の世界では $\mathbf{0! = 1}$ と定義defineする（つまり、そう約束する）ことになっているんだ。不思議に思うかもしれないけど、これにはちゃんとした理由があるよ。

なぜ $0! = 1$ なの？

1. 順列や組み合わせの公式がうまくいくようにするため
   • 順列の公式 ${}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ で考えてみよう。
     $n$ 個のものすべてを並べる順列は ${}_n P_n$ だね。これは $n!$ になるはず。
     公式に $r=n$ を代入すると、${}_n P_n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$ となる。
     これが $n!$ と等しくなるためには、$\frac{n!}{0!} = n! \implies 0! = 1$ でないといけないんだ。
   • 組み合わせの公式 ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ でも考えてみよう。
     $n$ 個のものから $0$ 個を選ぶ方法 (${}_n C_0$) は、「何も選ばない」というただ1通りだよね。
     公式に $r=0$ を代入すると、${}_n C_0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{0!n!}$ となる。
     これが $1$ となるためには、やはり $0!=1$ が必要だね。
2. 階乗の性質 $n! = n \times (n-1)!$ を $n=1$ まで拡張するため

   例えば、$4! = 4 \times 3!$、$3! = 3 \times 2!$、$2! = 2 \times 1!$ という関係があるね。 この関係を $n=1$ のときにも成り立つようにすると、$1! = 1 \times (1-1)! = 1 \times 0!$ となる。 $1! = 1$ だから、$1 = 1 \times 0!$。この式から $0! = 1$ が導けるんだ。

「$0! = 1$」は、数学のいろいろな場面で計算をスムーズにするための、とても賢い約束事conventionなんだね。

階乗の使い道

階乗は、場合の数や確率の計算で大活躍するよ！

• すべてのものを並べる順列： ${}_n P_n = n!$
• $n$ 個から $r$ 個選んで並べる順列： ${}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
• $n$ 個から $r$ 個選ぶ組み合わせ： ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

これらの公式を見てもわかるように、階乗は順列や組み合わせを表現するための基本的な部品なんだ。

階乗の計算練習

階乗計算機

整数 $n$ (0以上) を入力して、$n!$ を計算してみよう！