A Surprising Discovery (驚きの発見)
I was cleaning the attic and found an old diary. To think that my grandfather wrote this! I believe him to have been a very thoughtful person. I know this diary to be a valuable family treasure. To imagine him writing this every day is very moving.
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"To think that..." (〜だなんて考えてみると…)
→ "...my grandfather wrote this!" (祖父がこれを書いたなんて！)
ネイティブの感覚
これは「感嘆」を表す独立不定詞です。「〜だなんて信じられない！」「〜するとは驚きだ！」という、強い感情を表現します。「祖父がこれを書いた、ということを考えてみると(→)（信じられない気持ちでいっぱいだ）」という心の動きを表しています。文の形を取らず、不定詞句だけで感嘆文として成立します。
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"I believe him..." (私は彼が〜だと信じている…)
→ "...to have been a very thoughtful person." (とても思慮深い人物であったと)
ネイティブの感覚
`believe A to be B`で「AがBであると信じる」という、少しフォーマルな表現です。`I believe that he was...`とほぼ同じ意味ですが、より文語的で格調高い響きになります。「彼」が「思慮深い人物であった」という状態に向かっている(→)と「私が信じている」という構造です。完了形`to have been`が使われているのは、「信じている」今より「彼が生きていた」過去の方が前だからです。
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前からチャンク理解
"I know this diary..." (私はこの日記が〜だと分かっている…)
→ "...to be a valuable family treasure." (価値ある家宝であると)
ネイティブの感覚
`know A to be B`で「AがBであると知っている」。これも`believe A to be B`と同様に、`that`節の代わりとなるフォーマルな表現です。「この日記」が「家宝である」という状態に向かっている(→)と「私が知っている」という構造です。`consider`, `find`, `suppose`などの思考を表す動詞でこの形が使われます。
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"To imagine him writing this..." (彼がこれを書いているのを想像することは…)
→ "...is very moving." (とても感動的だ)
ネイティブの感覚
不定詞`to imagine`が文の主語になっています。その`imagine`の目的語として`him writing this`（彼がこれを書いていること）という動名詞の意味上の主語を含む塊が来ています。「彼が書いているのを想像すること」という大きな名詞の塊が主語となり、「感動的だ」と説明しています。少し複雑ですが、`To imagine that he wrote this...`とほぼ同じ意味です。