ウルトラ先生の確率教室

標準化Standardization とは？

平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ があるとき、それを次の式で変換して得られる新しい確率変数 $Z$ を考える。

$\mathbf{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}}$

この操作を標準化Standardizationと呼ぶ。

そして、驚くことに、この変換によって得られた新しい確率変数 $Z$ は、必ず平均が0、標準偏差が1の正規分布に従うんだ！この特別な正規分布のことを標準正規分布Standard Normal Distribution と呼び、$N(0, 1)$ と書くんだったね。

この $Z$ の値は、元の値 $X$ が「平均 $\mu$ から、標準偏差 $\sigma$ の何個分だけ離れているか」を示している。そのため、ZスコアZ-score や標準得点と呼ばれることもあるよ。

• $X = \mu$ のとき、$Z = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$
• $X = \mu + \sigma$ のとき、$Z = \frac{(\mu+\sigma) - \mu}{\sigma} = 1$ （平均から標準偏差1個分だけ上）
• $X = \mu - 2\sigma$ のとき、$Z = \frac{(\mu-2\sigma) - \mu}{\sigma} = -2$ （平均から標準偏差2個分だけ下）

なぜこの式で $N(0, 1)$ に変換できるの？（イメージ）

1. $X-\mu$ (平均を引く)：
   まず、元の値 $X$ から平均 $\mu$ を引くと、データの中心が $\mu$ から 0 に移動するよね。これで分布の山の中心が $Z=0$ の位置に来る。グラフ全体が左右に平行移動するイメージだ。
2. $\frac{X-\mu}{\sigma}$ ($\sigma$で割る)：
   次に、平均からの差を標準偏差 $\sigma$ で割る。これは、ばらつきの「単位」を $\sigma$ から $1$ に変換する操作にあたるんだ。$\sigma$ が大きくてグラフがなだらかだったものはキュッと縮まり、$\sigma$ が小さくて尖っていたものは横に広げられて、ちょうど標準偏差が1の釣鐘型になる。グラフの横幅と縦の高さが変わるイメージだね。

なぜ標準化が便利なの？ ～ 標準正規分布表

どんな正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ も、標準化 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ によって、たった一つの標準正規分布 $N(0, 1)$ に変身させられる、というのがミソなんだ。

ということは、標準正規分布 $N(0, 1)$ についての確率（グラフの下の面積）さえ計算できれば、どんな正規分布の確率も計算できることになる！

そして、標準正規分布については、親切なことに、様々な $z$ の値に対する確率（面積）を計算した結果が「標準正規分布表Standard Normal Table」という表にまとめられているんだ。（もちろん、今はコンピュータで簡単に計算できるけどね！）