ウルトラ先生の確率教室

第8章 代表的な連続型確率分布

8-4: 指数分布Exponential Distribution ～次に何かが起こるまでの待ち時間～

前回は、確率・統計の世界で最も重要な連続型分布である正規分布について学んだね。

今回は、もう一つ、とてもよく使われる連続型分布である「指数分布Exponential Distribution」を紹介するよ。これは、ある出来事が起こってから、次に同じような出来事が起こるまでの時間（間隔）や、機械などが故障するまでの時間（寿命）のような、「待ち時間waiting time」に関連する現象をモデル化するのによく使われるんだ。

実は、前に学んだポアソン分布（一定期間に起こる「回数」の分布）と深い関係がある分布でもあるんだよ。

指数分布の確率密度関数 (PDF)

平均発生率が $\lambda$ である指数分布に従う確率変数 $T$ の確率密度関数(PDF) $f(t)$ は、次のような式で与えられる。

$ f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & (t \ge 0 \text{ のとき}) \\ 0 & (t < 0 \text{ のとき}) \end{cases} $

ここで、$e$ はネイピア数（約 2.718）、$\lambda$ は平均発生率、 $t$ は時間（待ち時間）だよ。

このグラフの形を見てみよう。$t=0$ のとき $f(0) = \lambda e^0 = \lambda$ となり、確率密度は最大になる。そして、$t$ が大きくなるにつれて、$e^{-\lambda t}$ の項のために指数関数的に急速に減少していくんだ。つまり、待ち時間が短いほど起こりやすく（密度が高く）、長くなるほど起こりにくい（密度が低い）という性質を表しているね。

もちろん、これもPDFなので、グラフとt軸（横軸）で囲まれる $t \ge 0$ の範囲の全面積 $\int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda t} dt$ はちゃんと 1 になるんだよ。

指数分布の確率計算

連続型分布なので、確率 $P(a \le T \le b)$ は PDF $f(t)$ のグラフの下の $t=a$ から $t=b$ までの面積 $\int_a^b \lambda e^{-\lambda t} dt$ で求められる。

特に指数分布で重要になるのは、次の2つの確率だ。

• ある時間 $t_0$ までに事象が起こる確率 ($T \le t_0$)
• ある時間 $t_0$ を過ぎてもまだ事象が起こらない確率 ($T > t_0$)

これらの確率は、積分計算をすると（ここでは結果だけ示すね）、次のようになるんだ。

確率１：待ち時間が $t_0$ 以下である確率（累積分布関数CDF）

$P(T \le t_0) = 1 - e^{-\lambda t_0} \quad (t_0 \ge 0)$

確率２：待ち時間が $t_0$ より長くなる確率（生存関数Survival Function）

$P(T > t_0) = e^{-\lambda t_0} \quad (t_0 \ge 0)$

（この2つの確率を足すと $(1 - e^{-\lambda t_0}) + e^{-\lambda t_0} = 1$ となり、ちゃんと全体の確率が1になるね！）

グラフで見ると、下の図のように、PDFの下の面積がこれらの確率に対応しているよ。

まとめ

• 指数分布は、ランダムな事象が発生するまでの「待ち時間」や「寿命」の確率分布で、連続型。
• パラメータは単位時間（空間）あたりの平均発生率 $\mathbf{\lambda}$ のみ。
• 確率密度関数(PDF)は $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ ($t \ge 0$) で、右下がりの指数関数的な形。
• 待ち時間が $t_0$ 以下である確率（CDF）は $P(T \le t_0) = 1 - e^{-\lambda t_0}$。
• 待ち時間が $t_0$ より長くなる確率（生存関数）は $P(T > t_0) = e^{-\lambda t_0}$。
• 期待値（平均待ち時間）は $E[T]=\mathbf{1/\lambda}$。
• 分散は $V[T]=\mathbf{1/\lambda^2}$ （標準偏差は $1/\lambda$）。
• 無記憶性を持つ。

これで代表的な連続型確率分布（一様分布、正規分布、指数分布）の紹介は終わりだよ。次は、確率論の重要な定理である「大数の法則」と「中心極限定理」について学んでいこう！