ウルトラ先生の確率教室

第5章 いろいろな試行の確率

5-3: 二項分布Binomial Distribution へのイントロダクション

前のページでは、独立な試行を $n$ 回繰り返したときに、ある事象A（成功）がちょうど $k$ 回起こる確率 $P_k$ を計算する公式

$P_k = {}_n C_k \, p^k (1-p)^{n-k}$

を学んだね（$p$ は1回の試行で事象Aが起こる確率）。

この公式を使うと、$k$ の値、つまり成功する回数が $0, 1, 2, \dots, n$ のそれぞれについて、その確率を求めることができるんだった。

例えば、コインを3回投げる場合（$n=3, p=1/2$）では、表が出る回数 $k$ とその確率 $P_k$ は下のようになったね。

• $k=0$: $P_0 = 1/8$
• $k=1$: $P_1 = 3/8$
• $k=2$: $P_2 = 3/8$
• $k=3$: $P_3 = 1/8$

このように、起こりうる結果（ここでは成功回数 $k$）と、それぞれの結果が起こる確率 $P_k$ の対応関係をひとまとめにしたものを「確率分布probability distribution」と呼ぶんだ。

そして、反復試行の成功回数に関するこの確率分布には、特別な名前が付いている。それが「二項分布Binomial Distribution」だよ！

二項分布の形をグラフで見てみよう！

二項分布がどんな形をしているか、いくつか例を見てみよう。成功回数 $k$ を横軸、その確率 $P_k$ を縦軸にした棒グラフで表してみるよ。

これらのグラフからわかるように、二項分布 $B(n, p)$ の形は、

• 試行回数 $n$
• 成功確率 $p$

の2つのパラメータによって決まるんだ。

• $p=0.5$ のときは、グラフは左右対称な山形になる。
• $p$ が 0.5 から離れると（0や1に近づくと）、グラフは非対称に歪んでいく。
• $n$ が大きくなると、たとえ $p$ が0.5でなくても、グラフはある特定の形（釣鐘型、これは「正規分布」というものに似てくるんだ）に近づいていくという面白い性質もあるよ（これはまたずっと後で学ぶよ！）。

なぜ「二項」分布って言うの？
これはちょっと難しい話だけど、「二項定理」という数学の公式 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^k b^{n-k}$ と深い関係があるからなんだ。 $a$ を成功確率 $p$、$b$ を失敗確率 $1-p$ と置き換えると、$a+b=1$ だから $(p + (1-p))^n = 1^n = 1$ となるね。一方、二項定理の右辺は $\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ となって、これはまさに成功回数 $k=0$ から $k=n$ までの確率 $P_k$ を全部足したものになっている！つまり、二項定理の各項が二項分布の各確率に対応している、というわけなんだ。「二項」展開に関係する分布だから「二項分布」と呼ばれているんだね。

まとめと次のステップ

• 同じ条件で独立な試行を $n$ 回繰り返し、成功確率 $p$ が一定のとき、成功回数 $k$ が従う確率の対応関係（分布）を二項分布 $B(n, p)$ という。
• 各成功回数 $k$ の確率は $P_k = {}_n C_k \, p^k (1-p)^{n-k}$ で計算できる。
• 二項分布は、確率や統計の世界で非常によく使われる重要な確率分布の一つ。

今回は、確率分布の中でも代表的な二項分布について紹介したよ。次の第3部（第6章以降）では、「確率変数random variable」や「確率分布probability distribution」という考え方を、もっと一般的、体系的に学んでいくことになる。二項分布以外にも、ポアソン分布や正規分布といった、面白い性質を持つたくさんの確率分布が登場するから、楽しみにしていてね！