ウルトラ先生の確率教室

第5章 いろいろな試行の確率

5-2: 反復試行の確率Repeated Trials Probability（ベルヌーイ試行Bernoulli Trials）

前のページでは、独立な試行を繰り返すときに、「1回目は表、2回目は裏、3回目は表」のように、特定の順番で結果が出る確率を計算したね。各回の確率を単純に掛け合わせればよかった。

でも、こういう場合はどうだろう？

「コインを5回投げて、ちょうど3回表が出る確率は？」

この場合、「表表表裏裏」でも「表裏表裏表」でも、順番は問わず、とにかく表が3回、裏が2回出ればいいわけだ。このように、順番は関係なく、特定の事象が特定の回数起こる確率を考えるのが、今回のテーマ「反復試行の確率」だよ。

反復試行の確率の考え方

まず、簡単な例で考え方を掴もう。

例：コインを3回投げて、表(H)がちょうど2回出る確率 ($n=3, k=2$)

1回の試行で表が出る確率 $p = \frac{1}{2}$。表が出ない（裏(T)が出る）確率は $1-p = \frac{1}{2}$。

表がちょうど2回出るパターンには、どんな順番があるかな？ 書き出してみると…

• (表, 表, 裏) - HHT
• (表, 裏, 表) - HTH
• (裏, 表, 表) - THH

の3パターンがあるね。

それぞれのパターンが起こる確率を計算してみよう。各回の試行は独立だから、確率を掛け合わせればいいんだったね。

• HHT の確率: $P(H) \times P(H) \times P(T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
• HTH の確率: $P(H) \times P(T) \times P(H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
• THH の確率: $P(T) \times P(H) \times P(H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

どのパターンも、起こる確率は同じ $\frac{1}{8}$ になった！ 一般的に、成功確率 $p$ の試行を $n$ 回繰り返して、成功が $k$ 回、失敗が $n-k$ 回起こる特定の1つのパターンの確率は、$p^k (1-p)^{n-k}$ となるんだ。

そして、これらのパターン（HHT, HTH, THH）は同時には起こらない（互いに排反）ので、「表がちょうど2回出る」という事象の確率は、これらの確率を足し合わせればいい（加法定理）。

求める確率 = (HHTの確率) + (HTHの確率) + (THHの確率)

$= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

ここで重要なのは、「何パターンあるか？」という数だ。この例では3パターンだったけど、これは「3回の試行の中から、表が出る2回を選ぶ組み合わせ」の数と同じになっているんだ！ ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り、だね。

つまり、反復試行の確率は、

（そのようなパターンが何通りあるか：組み合わせ ${}_n C_k$）$\times$（その1つのパターンが起こる確率：$p^k (1-p)^{n-k}$）

で計算できることがわかるんだ！

具体的な例で計算してみよう！