ウルトラ先生の確率教室

例題1：コインを3回投げる

1枚の公正なコインを3回投げます。（各回の試行は独立だね）

(a) 3回とも表が出る確率

1回目に表が出る確率 $P(H_1)=\frac{1}{2}$、2回目に表が出る確率 $P(H_2)=\frac{1}{2}$、3回目に表が出る確率 $P(H_3)=\frac{1}{2}$。

求める確率は、$P(H_1 \cap H_2 \cap H_3) = P(H_1) \times P(H_2) \times P(H_3)$ なので、

確率は $(\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

(b) 表 (H)、裏 (T)、表 (H) の順に出る確率

$P(H_1)=\frac{1}{2}$, $P(T_2)=\frac{1}{2}$, $P(H_3)=\frac{1}{2}$。

求める確率は、$P(H_1 \cap T_2 \cap H_3) = P(H_1) \times P(T_2) \times P(H_3)$ なので、

確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(c) 少なくとも1回は表が出る確率

「少なくとも1回は表が出る」事象は、「1回だけ表」「2回だけ表」「3回とも表」の場合を全部考える必要があって少し大変だ。

こういうときは、反対の事象（余事象 よじしょう）を考えると楽なことが多いよ！「少なくとも1回は表が出る」の反対は、「1回も表が出ない」つまり「3回とも裏が出る」ことだね。

3回とも裏が出る確率は、(a) と同じように考えて、$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

求めたい確率（少なくとも1回は表）は、全体の確率（必ず起こる確率＝1）から、余事象の確率（3回とも裏）を引けばいい。

$P(\text{少なくとも1回表}) = 1 - P(\text{3回とも裏}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

例題2：サイコロを2回振る

1個の公正なサイコロを2回振ります。（各回の試行は独立）

(a) 1回目は1の目、2回目は6の目が出る確率

$P(1回目1) = \frac{1}{6}$, $P(2回目6) = \frac{1}{6}$。

確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

(b) 2回とも偶数の目が出る確率

1回目に偶数が出る確率は $P(\text{偶数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。2回目も同じく $\frac{1}{2}$。

確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

例題3：袋から玉を取り出して戻す（復元抽出）

袋の中に赤玉3個、白玉2個（計5個）が入っています。この袋から玉を1個取り出して色を確認し、元に戻します。この操作を3回繰り返します。（毎回、袋の状態は同じなので、独立な試行だね）

(a) 3回とも赤玉が出る確率

1回の試行で赤玉が出る確率は $P(\text{赤}) = \frac{3}{5}$。

確率は $P(\text{1回目赤} \cap \text{2回目赤} \cap \text{3回目赤}) = (\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5}) = (\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125}$

(b) 赤、白、赤の順で出る確率

1回の試行で白玉が出る確率は $P(\text{白}) = \frac{2}{5}$。

確率は $P(\text{1回目赤}) \times P(\text{2回目白}) \times P(\text{3回目赤}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{125}$