ウルトラ先生の確率教室

第1章 場合の数 ～すべての場合を数え上げよう～

1-2: 順列Permutation ～並べる順番が大切～

前のページでは、場合の数を数えるための「和の法則」と「積の法則」を学んだね。特に積の法則は、「Aをして、さらにBをする」というように、連続した操作の場合の数を考えるときに役立ったのを覚えているかな？

今回は、その積の法則と深いつながりがある「順列Permutation」について見ていくよ。順列は、いくつかのものを「順番を区別して一列に並べる」ときに、その並べ方が何通りあるかを考える方法なんだ。

順列Permutation とは？

順列Permutation とは、異なるいくつかのものの中から、一部または全部を選んで、順番に意味を持たせて一列に並べたときの、その並べ方の総数のことだよ。

ポイントは「異なるもの」を「順番を区別して」並べる、という点だ。

例えば、こんな場面で順列の考え方が使われるよ。

• リレーの走る順番を決める（1番走者、2番走者…と順番が重要だね）
• 3つの数字を使って3桁の暗証番号を作る（123と321は違う番号だよね）
• 選ばれた人たちで記念撮影をするとき、誰がどこに並ぶか

順列の記号 P を使ってみよう

毎回「～通り × ～通り × …」と書くのは少し大変だよね。そこで、順列を表す便利な記号があるんだ。

異なる $\mathbf{n}$ 個のものから 異なる $\mathbf{r}$ 個を選んで一列に並べる順列の場合の数を、次のように書くよ。

$_n P_r \quad \text{または} \quad P(n, r)$

読み方は「エヌ・ピー・アール」や「ピー・エヌ・アール」など様々だよ。「$n$ 個から $r$ 個取るパーミュテーション」と意味を込めて読んでもいいね。

計算方法は、$\mathbf{n}$ から始まって1ずつ小さい数を、$\mathbf{r}$ 個ぶん掛け合わせるんだ。

$_n P_r = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-r+1)$

例えば、さっきの例題を記号で表すと…

• 例題1（3枚のカードを3枚とも並べる）： $n=3, r=3$ なので、
  $_3 P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り
• 例題2（5人から3人を選んで並べる）： $n=5, r=3$ なので、
  $_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り (5から始めて3個の数を掛ける)

階乗Factorial との関係 (ちょっとだけ紹介)

$n$ 個の異なるものすべてを一列に並べる順列、つまり $_n P_n$ は、 $_n P_n = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ となるね。このように、1から $n$ までのすべての整数を掛け合わせたものを「$n$ の階乗factorial」といって、$\mathbf{n!}$ と書くんだ。（ビックリマークみたいだね！）

$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$

この階乗を使うと、順列 $_n P_r$ はこんな風にも表せるよ。（詳しい説明は次の「階乗」のページでね！）

$_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

例えば、$_5 P_3$ なら、$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ となるんだ。

階乗については次のページで詳しく説明するから、今は「こんな書き方もあるんだな」くらいで大丈夫だよ。

→ 次のページ「1-4: 階乗（ビックリマーク「！」の秘密）」へ進む

順列の練習問題

順列の計算、少し慣れてきたかな？「選んで並べる」イメージをしっかり持ってね！

もっと練習したい？実際にカードを並び替えるアプリもあるよ！