ウルトラ先生の確率教室

第8章 代表的な連続型確率分布

8-2: 一様分布Uniform Distribution ～どこも同じ起こりやすさ～

前のページでは、連続型の確率変数の確率は「確率密度関数(PDF)」のグラフの下の「面積」で考え、PDFの値自体は確率ではなく「密度」を表す、ということを学んだね。

今日からはいよいよ、具体的な連続型確率分布を見ていくよ。そのトップバッターは、形が一番シンプルで分かりやすい「一様分布Uniform Distribution」だ！

「一様」という言葉には「すべて同じ様子」という意味があるんだけど、まさに一様分布は、ある決まった範囲（区間）の中だったら、どの値も同じくらいの起こりやすさ（密度）を持つ、という状況を表す分布なんだ。

例えるなら、目盛りがたくさんついた精密なルーレットを回したとき、針がどの角度で止まるか、みたいなイメージかな。どの角度も同じように止まりそうだよね。

一様分布の確率密度関数 (PDF)

一様分布の確率密度関数(PDF) $f(x)$ はどんな形になるかな？

まず、区間 $[a, b]$ の外では確率密度は 0 だ。じゃあ、区間 $[a, b]$ の中では？ どこでも密度が一定なんだから、グラフは水平な直線になるはずだね。

そして、PDFの大事な性質として、「グラフとx軸で囲まれた部分の全面積は1になる」というのがあったのを思い出そう。

区間 $[a, b]$ の幅は $b-a$。この幅で面積が1になるためには、グラフの高さ（つまり確率密度 $f(x)$ の値）はいくつになればいいかな？

（長方形の面積）=（底辺の長さ）$\times$（高さ） だから、

$1 = (b-a) \times (\text{高さ})$

つまり、高さは $\frac{1}{b-a}$ になるね！

これを式でまとめると、一様分布のPDFは次のようになる。

$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & (a \le x \le b \text{ のとき}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases} $

グラフで描くと、こんな長方形の形になるんだ。

一様分布の確率計算

一様分布に従う確率変数 $X$ が、ある区間 $[c, d]$ （ただし $a \le c \le d \le b$）の値をとる確率 $P(c \le X \le d)$ はどう計算できるかな？

連続型分布の確率計算のルールを思い出そう。「PDFのグラフの下の、対応する区間の面積」を求めればいいんだったね！

一様分布の場合、区間 $[c, d]$ の下の面積は、底辺の長さが $d-c$ で、高さが $\frac{1}{b-a}$ の長方形の面積になる。

だから、確率は…

$P(c \le X \le d) = (\text{区間の幅}) \times (\text{高さ}) = (d-c) \times \frac{1}{b-a} = \frac{d-c}{b-a}$

（ただし、$a \le c \le d \le b$）

とてもシンプルだね！確率は、考えている区間の幅 $(d-c)$ が、全体の区間の幅 $(b-a)$ に対してどれくらいの割合か、というだけで決まるんだ。

まとめ

• 一様分布は、ある区間 $[a, b]$ 内で確率密度が一定 ($f(x) = \frac{1}{b-a}$) な連続型確率分布。
• 区間 $[c, d]$ ($a \le c \le d \le b$) に入る確率は $P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}$ で、区間の幅の比率になる。
• 期待値（平均）は区間の中心 $E[X] = \frac{a+b}{2}$。
• 分散（ばらつき）は $V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}$。
• ルーレット、乱数、待ち時間（特定の条件下）など、「どの値も同じ起こりやすさ」を持つ現象のモデルとして使われる。

一様分布は形も計算もシンプルだけど、連続型分布の基本としてしっかり理解しておこう。次は、最も重要でよく使われる連続型分布の王様、「正規分布」について学んでいくよ！