第8章 代表的な連続型確率分布
8-1: 連続型確率分布Continuous Probability Distribution と 確率密度関数Probability Density Function (PDF)
第7章までで、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布、幾何分布といった「離散型」の確率分布を見てきたね。これらは、確率変数が $0, 1, 2, \dots$ のように、飛び飛びの値をとる場合の確率のパターンだった。
でも、世の中には連続型continuousの確率変数もたくさんあるんだったね。例えば、
- 人の身長や体重
- 製品の寿命（時間）
- ある地点の温度や降水量
- 測定の誤差
などだ。これらの値は、ある範囲の中で連続的に変化し、特定の値ピッタリになるということは考えにくい。
この章からは、こうした連続型確率変数が従う「連続型確率分布Continuous Probability Distribution」について学んでいくよ。連続型の場合、離散型とは確率の考え方が少し違うから、まずはその基本をしっかり押さえよう！
連続型確率変数と確率 (復習)
連続型の確率変数 $X$ （例えば身長）について考えるとき、一番大事なポイントはこれだった。
特定の値ピッタリになる確率 $P(X=x)$ は 0 である。
例えば、「身長がちょうど 170.0000... cm である」確率を考えてみてほしい。現実にはそんなピッタリの値になることはありえないよね？ 理論上も、連続的な値の中のたった一点をとる確率は 0 になると考えるんだ。
じゃあ、連続型ではどうやって確率を考えるのかというと…
ある範囲（区間）intervalに入る確率 $P(a \le X \le b)$
を考えるんだったね。「身長が165cm以上170cm以下である確率」のように、「範囲」で確率を捉えるんだ。
確率密度関数Probability Density Function (PDF) とは？
連続型確率変数 $X$ の確率分布は、「確率密度関数 (PDF)」と呼ばれる関数 $f(x)$ を使って記述されるよ。
この $f(x)$ の値自体は「確率」ではないんだけど（だから1を超えることもありうる！）、グラフの形が、どの値のあたりが「起こりやすい」か（確率の密度が高いか）を表しているんだ。
PDF $f(x)$ には、とても大切な性質が3つある。
- 常に $f(x) \ge 0$ である。
確率の密度がマイナスになることはない、ということだね。グラフは常にx軸の上にあるか、接している。 - グラフ $y=f(x)$ とx軸で囲まれる全区間の面積areaは、必ず 1 になる。
これは、離散型で確率の合計が1になることに対応している。「起こりうるすべての範囲」の確率は1だということだね。（数学の記号では $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ と書くよ） - $X$ が $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率 $P(a \le X \le b)$ は、グラフ $y=f(x)$ の下で、$x=a$ から $x=b$ までの区間の面積に等しい。
これが一番重要！連続型の確率は、PDFのグラフの下の面積として求められるんだ。（数学の記号では $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$ と書くよ）
この図を見てみよう。
釣鐘型の曲線が確率密度関数 $f(x)$ だ。
(1) 曲線は常にx軸の上にある ($f(x) \ge 0$ )。
(2) 曲線とx軸で囲まれた全体の水色の部分の面積が 1 になる。
(3) 緑色で塗られた $a$ から $b$ までの区間の面積が、$X$ が $a$ と $b$ の間の値をとる確率 $P(a \le X \le b)$ になる。
(4) 特定の値 $c$ での確率 $P(X=c)$ は、幅のない線分の面積になるから 0 になる、というのもわかるね。
（だから連続型では $P(a \le X \le b)$ と $P(a < X < b)$ は同じ値になるんだ。）
PDF (連続型) と PMF (離散型) の違いまとめ
ここで、離散型の確率分布を表す「確率質量関数 (PMF)」と、連続型の確率分布を表す「確率密度関数 (PDF)」の違いを整理しておこう。
| 特徴 | 離散型 (PMF: $P(X=x_k)$) | 連続型 (PDF: $f(x)$) |
|---|---|---|
| 確率変数 $X$ がとる値 | 飛び飛びの値 ($x_1, x_2, \dots$) | 連続的な値 (ある区間内の実数) |
| 関数の値の意味 | その値をとる確率 ($0 \le P(X=x_k) \le 1$) |
確率密度（確率ではない） ($f(x) \ge 0$, 1を超えることもありうる) |
| 確率の求め方 | 特定の値 $x_k$ の確率 $P(X=x_k)$ | 区間 $[a, b]$ の面積 $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$ |
| 全確率 / 全面積 | 確率の合計 $\sum_k P(X=x_k) = 1$ | グラフ下の全面積 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ |
| 特定の値の確率 | $P(X=x_k)$ (通常 > 0) | $P(X=x) = 0$ |
これから学ぶ連続型確率分布（予告）
この章では、代表的な連続型の確率分布として、次のようなものを順番に見ていくよ。
- 一様分布 (Uniform Distribution): ある区間内で、どの値も「同じ密度」で現れる、一番シンプルな連続型分布。（例：ルーレットの停止位置など）
- 正規分布 (Normal Distribution): 平均値の周りが一番密度が高く、左右対称な美しい釣鐘型をした、最も重要でよく使われる分布。（例：身長、体重、測定誤差など、多くの自然現象や社会現象に現れる）
- 指数分布 (Exponential Distribution): ある出来事が起こるまでの「待ち時間」などによく使われる分布。（例：電球の寿命、次にバスが来るまでの時間など）
それぞれの分布がどんな形の確率密度関数(PDF)を持っていて、どんな性質があるのか、一緒に探っていこう！
まとめ
- 連続型確率変数では、特定の値の確率は0になるため、ある区間に入る確率 $P(a \le X \le b)$ を考える。
- 連続型確率分布は、確率密度関数 (PDF) $f(x)$ で記述される。
- PDF $f(x)$ のグラフの下の面積が確率に対応し、グラフとx軸で囲まれる全区間の面積は必ず1になる。
- PDF $f(x)$ の値が大きいほど、その値の付近の確率密度が高い（そのあたりの値が出やすい）ことを示す。
離散型と連続型の確率の考え方の違い、特にPDFと面積の関係をしっかりイメージできるようになっておこうね！
このページで出てきたEnglish wordsとその仲間たち
| 英単語 (English) | 意味 (Meaning) | 例文 (Example Sentence) | 例文の読み上げ | 例文の日本語訳 |
|---|---|---|---|---|
| Continuous Probability Distribution | 連続型確率分布 | Height and weight often follow a continuous probability distribution. | ▶ 再生 | 身長や体重は、しばしば連続型確率分布に従います。 |
| Probability Density Function (PDF) | 確率密度関数 | The Probability Density Function (PDF) $f(x)$ describes the likelihood of a continuous random variable taking on a given value. | ▶ 再生 | 確率密度関数(PDF) $f(x)$ は、連続確率変数が特定の値をとる尤度（らしさ）を記述します。 |
| Area under the curve | 曲線の下の面積 | Probability for a continuous variable is found by calculating the area under the curve of its PDF. | ▶ 再生 | 連続変数の確率は、そのPDFの曲線の下の面積を計算することによって求められます。 |
| Interval | 区間 | We calculate the probability that the variable falls within a specific interval $[a, b]$. | ▶ 再生 | 私たちは、変数が特定の区間 $[a, b]$ 内に収まる確率を計算します。 |
| Density | 密度 | The PDF $f(x)$ represents probability density, not probability itself. | ▶ 再生 | PDF $f(x)$ は確率密度を表し、確率そのものではありません。 |
| Uniform Distribution | 一様分布 | In a uniform distribution, all outcomes within a range are equally likely. | ▶ 再生 | 一様分布では、ある範囲内のすべての結果が同様に確からしいです。 |
| Normal Distribution | 正規分布 | The bell-shaped curve represents the normal distribution. | ▶ 再生 | 釣鐘型の曲線は正規分布を表します。 |
| Exponential Distribution | 指数分布 | Exponential distribution often models waiting times. | ▶ 再生 | 指数分布は、しばしば待ち時間をモデル化します。 |