7-2: 二項分布～成功回数の確率分布～ - ウルトラ先生の確率教室

第7章代表的な離散型確率分布

7-2: 二項分布Binomial Distribution ～成功回数の確率分布～

前のページでは、最もシンプルな確率分布である「ベルヌーイ分布」を学んだね。これは、コイン投げのように結果が2通りしかない試行を「1回だけ」行った結果を表す分布だった。

今回は、そのベルヌーイ試行を「何回か繰り返した」ときに、「成功が合計で何回起こるか」の確率分布である「二項分布Binomial Distribution」について、改めて詳しく見ていこう！実は第5章の反復試行の確率で、すでにその計算方法は学んでいるんだけど、ここでは「確率分布」としての性質に注目するよ。

二項分布とは？ (定義の再確認)

次の3つの条件を満たす状況を考えるよ。

同じ条件での試行（結果が「成功」か「失敗」のベルヌーイ試行）を、決まった回数 $\mathbf{n}$ 回繰り返す。
各回の試行は互いに独立である。
各回の試行で「成功」する確率は $\mathbf{p}$ で常に一定（失敗確率は $1-p$）。

このとき、$n$ 回の試行における総成功回数を確率変数 $X$ とすると、この $X$ が従う離散型の確率分布を、パラメータ $n, p$ を持つ二項分布と呼び、$B(n, p)$ と書く。

確率変数 $X$ は、$0, 1, 2, \dots, n$ のいずれかの整数値をとるね。

二項分布の確率質量関数 (PMF)

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ が、ちょうど $k$ 回の成功を示す確率 $P(X=k)$ は、反復試行の確率の公式で計算できるんだったね。

$P(X=k) = {}_n C_k \, p^k (1-p)^{n-k} \quad (\text{for } k=0, 1, 2, \dots, n)$

この式が、二項分布の確率質量関数(PMF)だよ。各 $k$ に対して確率を計算できる。

${}_n C_k$: $n$ 回中 $k$ 回成功する「順番のパターン」が何通りあるか（組み合わせ）。
$p^k$: そのパターンのうち、$k$ 回成功する部分の確率。
$(1-p)^{n-k}$: そのパターンのうち、$n-k$ 回失敗する部分の確率。

二項分布の期待値と分散

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ （つまり成功回数）の期待値（平均値）と分散（ばらつき具合）は、とてもきれいな形で表せるんだ！

期待値 $E[X]$ (平均成功回数):

$E[X] = np$

これは、「$n$ 回試行して、1回あたりの成功確率が $p$ なんだから、平均すると $n \times p$ 回成功するだろう」という直感と一致していて分かりやすいね！

例：コインを100回投げたら($n=100, p=0.5$)、表が出る回数の期待値は $100 \times 0.5 = 50$ 回。
例：サイコロを30回投げて($n=30, p=1/6$)、1の目が出る回数の期待値は $30 \times \frac{1}{6} = 5$ 回。

（導出のヒント：二項分布は独立なベルヌーイ分布（期待値 $p$）の $n$ 個の和と考えられる。期待値には加法性 $E[X_1+\dots+X_n] = E[X_1]+\dots+E[X_n]$ があるので、$E[X] = p + \dots + p = np$ となるんだ。）

分散 $V[X]$ (成功回数のばらつき):

$V[X] = np(1-p)$

分散は、成功回数が期待値（平均）の周りにどれくらいばらつくかを示す指標だ。試行回数 $n$ が多いほど、また、成功確率 $p$ が $0.5$ に近い（成功と失敗が同じくらい起こりやすい）ほど、ばらつきは大きくなるんだ。

例：コイン100回投げ ($n=100, p=0.5$) の分散は $100 \times 0.5 \times (1-0.5) = 25$。
例：サイコロ30回投げ ($n=30, p=1/6$) で1の目の回数の分散は $30 \times \frac{1}{6} \times (1-\frac{1}{6}) = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17$。

（導出のヒント：独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和になる $V[X_1+\dots+X_n] = V[X_1]+\dots+V[X_n]$ という性質がある（これも後の章で！）。ベルヌーイ分布の分散は $p(1-p)$ だったので、$V[X] = p(1-p) + \dots + p(1-p) = np(1-p)$ となるんだ。）

二項分布の形状を見てみよう

二項分布 $B(n, p)$ の形（確率分布のグラフ）は、パラメータ $n$ と $p$ の値によって変わるよ。いくつか例を見てみよう。

$n=10$ で $p$ を変えた場合

$p=0.2$ (青), $p=0.5$ (赤), $p=0.8$ (緑)
$p=0.5$ で左右対称、$p$ が偏ると分布も歪む。

$p=0.5$ で $n$ を変えた場合

$n=5$ (青), $n=10$ (赤), $n=20$ (緑)
$n$ が大きくなると、山の裾野が広がり、形が正規分布に似てくる。

もっと色々な $n$ と $p$ の組み合わせでグラフがどう変わるか見てみたい？次のページにインタラクティブなグラフ表示アプリを用意したよ！

→ 二項分布グラフ表示アプリへ

二項分布が使われる場面

二項分布は、世の中の様々な場面に現れるんだ。例をいくつか挙げてみよう。

品質管理：工場で作った製品を $n$ 個検査して、不良品が $k$ 個見つかる確率（1個あたりの不良率が $p$）。
世論調査： $n$ 人にアンケートをとって、ある政策に賛成する人が $k$ 人である確率（全体の賛成率が $p$）。
生物学：ある遺伝子を持つ親から $n$ 匹の子が生まれたとき、$k$ 匹がその遺伝子を受け継ぐ確率（受け継ぐ確率が $p$）。
スポーツ：バスケットボール選手がフリースローを $n$ 回打って、$k$ 回成功する確率（1回の成功率が $p$）。

このように、「独立な試行の繰り返し」で「成功回数」に興味がある場面では、二項分布が基本的なモデルとして使われることが多いんだよ。

まとめ

二項分布 $B(n, p)$ は、$n$ 回の独立なベルヌーイ試行（成功確率 $p$）における成功回数 $X$ の確率分布。
成功回数が $k$ 回である確率は $P(X=k) = {}_n C_k \, p^k (1-p)^{n-k}$。
期待値（平均成功回数）は $E[X]=np$。
分散（成功回数のばらつき）は $V[X]=np(1-p)$。
$n$ と $p$ の値によって分布の形が変わる。
実社会の多くの場面で応用される、非常に重要な離散型確率分布。

このページで出てきたEnglish wordsとその仲間たち

英単語 (English)	意味 (Meaning)	例文 (Example Sentence)	例文の読み上げ	例文の日本語訳
Binomial Distribution	二項分布	The binomial distribution models the number of successes in a fixed number of independent trials.	▶ 再生	二項分布は、固定された回数の独立試行における成功数をモデル化します。
Parameters (n, p)	パラメータ (n, p)	The shape of the binomial distribution depends on the parameters n and p.	▶ 再生	二項分布の形状は、パラメータnとpに依存します。
Probability Mass Function (PMF)	確率質量関数	The PMF of a binomial distribution gives the probability of exactly k successes.	▶ 再生	二項分布のPMFは、ちょうどk回の成功の確率を与えます。
Expected Value	期待値	The expected value (mean) of a binomial distribution B(n, p) is np.	▶ 再生	二項分布 B(n, p) の期待値（平均）は np です。
Variance	分散	The variance of a binomial distribution B(n, p) is np(1-p).	▶ 再生	二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) です。
Shape (of Distribution)	（分布の）形	The shape of the binomial distribution can be symmetric or skewed.	▶ 再生	二項分布の形は、対称にも歪むこともあります。
Skewness	歪度、歪み	The distribution shows positive skewness when p is small.	▶ 再生	pが小さいとき、分布は正の歪度を示します。
Symmetry	対称性	Symmetry occurs when p = 0.5.	▶ 再生	p=0.5のときに対称性が生じます。

第7章 代表的な離散型確率分布