ウルトラ先生の確率教室

例題1（復習）：あのくじは「割に合う」？

前のページで考えたくじをもう一度見てみよう。1本100円で引けて、賞金と確率は以下の通りだった。

• 1等：1000円 (確率 $1/100$)
• 2等： 500円 (確率 $5/100$)
• 3等： 100円 (確率 $10/100$)
• はずれ： 0円 (確率 $84/100$)

賞金の期待値は $E(\text{賞金}) = 45$円 と計算できたね。

では、「儲け（賞金 - 参加費）」の期待値を計算してみよう。

結果	儲け ($x_i$)	確率 ($p_i$)	$x_i \times p_i$
1等	$1000 - 100 = 900$円	$1/100$	$900 \times 1/100 = 9$円
2等	$500 - 100 = 400$円	$5/100$	$400 \times 5/100 = 20$円
3等	$100 - 100 = 0$円	$10/100$	$0 \times 10/100 = 0$円
はずれ	$0 - 100 = -100$円	$84/100$	$-100 \times 84/100 = -84$円
合計（儲けの期待値 $E$）			$9 + 20 + 0 - 84 = -55$円

儲けの期待値 $E(\text{儲け}) = -55$ 円

結論： このくじは、1回引くごとに平均して55円損することが期待される。期待値の観点からは、あまり「割に合う」とは言えないかもしれないね。（もちろん、「当たるかもしれない」というワクワク感、夢を買うという価値は別だけどね！）

（ちなみに、期待値の性質 $E(X - c) = E(X) - c$ を使うと、$E(\text{儲け}) = E(\text{賞金} - 100) = E(\text{賞金}) - 100 = 45 - 100 = -55$円 と、もっと簡単に計算することもできるよ。）

例題2：サイコロゲームは得か損か？

こんなゲームを考えてみよう。

• 参加費：100円
• ルール：公正なサイコロを1回振る。
• 賞金：出た目の数 $\times 10$ 円がもらえる。

問題：このゲームに参加するのは、期待値の観点から見て得でしょうか、損でしょうか？

まず、もらえる賞金の期待値 $E(\text{賞金})$ を計算しよう。

$E(\text{賞金}) = (1 \times 10 \times \frac{1}{6}) + (2 \times 10 \times \frac{1}{6}) + (3 \times 10 \times \frac{1}{6}) + (4 \times 10 \times \frac{1}{6}) + (5 \times 10 \times \frac{1}{6}) + (6 \times 10 \times \frac{1}{6})$

$E(\text{賞金}) = (\text{出る目の期待値}) \times 10$ と考えてもいいね。

出る目の期待値は例題1で $3.5$ と分かっているので、

$E(\text{賞金}) = 3.5 \times 10 = 35$ 円

次に、「儲け」の期待値を計算する。

儲けの期待値 = $E(\text{賞金}) - \text{参加費} = 35 \text{円} - 100 \text{円} = -65 \text{円}$

結論： このゲームの儲けの期待値はマイナスなので、期待値の観点からは損と言える。

例題3：簡単な火災保険の例

ある家について、以下の状況を考えよう。

• 1年間に火災に遭う確率: $P(\text{火災}) = 0.001$ (0.1%)
• 1年間火災に遭わない確率: $P(\text{無事}) = 1 - 0.001 = 0.999$ (99.9%)
• 火災に遭った場合の損害額（修理費など）: 2000万円
• この損害をカバーする火災保険の年間保険料: 3万円

【加入者の視点】この保険に入るのは得か損か？（期待値で考える）

保険に入ることで得られる「価値」は、損害を補ってもらえることだ。その価値の期待値を計算しよう。

• 火災に遭った場合： 2000万円の損害を補ってもらえる（価値2000万円）。確率 $0.001$。
• 火災に遭わない場合： 損害はないので補ってもらう額は0円（価値0円）。確率 $0.999$。

価値の期待値 $E(\text{価値}) = (20,000,000 \text{円} \times 0.001) + (0 \text{円} \times 0.999)$

$E(\text{価値}) = 20,000 \text{円}$

一方、保険に入るためには年間30,000円の保険料を支払う。

加入者の「損得」の期待値 = $E(\text{価値}) - \text{保険料} = 20,000 \text{円} - 30,000 \text{円} = -10,000 \text{円}$

解釈： 期待値だけを見ると、加入者は平均して年間1万円損することになる。でも、多くの人が保険に入るのはなぜだろう？ それは、めったに起こらないけれど、もし起こったら非常に大きな損害（2000万円！）を受けるというリスクriskを、比較的少ない費用（3万円）で回避できるからだ。期待値では測れない「安心感」を買っているとも言えるね。多くの人は、期待値がマイナスでも大きな損失を避けたい（リスク回避的risk averse）と考えるんだ。

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【保険会社の視点】この保険商品は儲かるか？（期待値で考える）

保険会社にとっての収入は保険料、支出は保険金だ。

• 収入の期待値: 1契約あたり年間30,000円（確率1で受け取る）。 $E(\text{収入}) = 30,000$円。
• 支出（保険金支払い）の期待値:
  $(20,000,000 \text{円} \times P(\text{火災})) + (0 \text{円} \times P(\text{無事}))$
  $= (20,000,000 \times 0.001) + (0 \times 0.999) = 20,000$円。
  $E(\text{支出}) = 20,000$円。

保険会社の期待利益（1契約あたり）= $E(\text{収入}) - E(\text{支出})$

期待利益 = $30,000 \text{円} - 20,000 \text{円} = 10,000 \text{円}$

解釈： 保険会社は、たくさんの契約を集めることで、大数の法則によって、1契約あたり平均して1万円の利益を期待できる（実際には会社の運営費などもかかるけどね）。これが保険ビジネスが成り立つ仕組みなんだ。