ウルトラ先生の確率教室

例題1：サイコロの出る目の期待値

1個の公正なサイコロを1回投げるとき、出る目の期待値 $E$ を計算してみよう。

• 得られる値 ($x_i$): 1, 2, 3, 4, 5, 6
• それぞれの確率 ($p_i$): すべて $\frac{1}{6}$ （同様に確からしいからね）

期待値の計算式に当てはめると…

$E = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})$

$E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E = 3.5$

答え： 3.5

解釈：
サイコロを振って実際に出る目は1から6の整数だけど、この試行を何度も何度も繰り返すと、出た目の平均値は3.5に近づいていく、と期待されるんだ。面白いね！

例題2：くじ引きの賞金の期待値

全部で100本のくじが入った箱があります。賞と本数は以下の通りです。くじは1本100円で引けます。

• 1等：1000円 (1本) $\implies$ 当たる確率 $p_1 = \frac{1}{100}$
• 2等： 500円 (5本) $\implies$ 当たる確率 $p_2 = \frac{5}{100}$
• 3等： 100円 (10本) $\implies$ 当たる確率 $p_3 = \frac{10}{100}$
• はずれ： 0円 (残り $100-1-5-10 = 84$本) $\implies$ 確率 $p_4 = \frac{84}{100}$

問題： このくじを1本引いたとき、もらえる賞金の期待値 $E$ はいくらでしょう？

期待値の計算式に当てはめると…

$E = (\text{1等の賞金} \times P(\text{1等})) + (\text{2等の賞金} \times P(\text{2等})) + (\text{3等の賞金} \times P(\text{3等})) + (\text{はずれの賞金} \times P(\text{はずれ}))$

$E = (1000 \times \frac{1}{100}) + (500 \times \frac{5}{100}) + (100 \times \frac{10}{100}) + (0 \times \frac{84}{100})$

$E = \frac{1000}{100} + \frac{2500}{100} + \frac{1000}{100} + 0$

$E = 10 + 25 + 10 + 0 = 45$

$E = 45$ 円

答え： 45円

解釈と発展：
このくじを1本引くと、平均して45円の賞金がもらえると期待できる、ということだね。 でも、くじを買うのには100円かかるんだった。ということは、くじ1本あたりの「儲け」の期待値を考えると、

（儲けの期待値）=（賞金の期待値）-（くじの値段）= 45円 - 100円 = -55円

となる。マイナスだね！これは、平均すると1回あたり55円損することが期待される、ということ。もちろん、運が良ければ1000円当たるかもしれないけど、長い目で見ると損をする可能性が高い、と考えられるね。

例題3：ゲームの報酬の期待値

あるゲームで、手強いボスを倒すと、以下の確率でアイテムが手に入るとします。

• レアアイテムA（価値 500G）：確率 $\frac{1}{10}$
• アイテムB（価値 100G）：確率 $\frac{3}{10}$
• アイテムC（価値 10G）：確率 $\frac{6}{10}$

(確率の合計は $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{10}{10} = 1$ になっているね！)

問題：このボスを1回倒したときに得られるアイテムの価値（ゴールド G）の期待値 $E$ はいくらでしょう？

$E = (\text{Aの価値} \times P(A)) + (\text{Bの価値} \times P(B)) + (\text{Cの価値} \times P(C))$

$E = (500 \times \frac{1}{10}) + (100 \times \frac{3}{10}) + (10 \times \frac{6}{10})$

$E = 50 + 30 + 6 = 86$

$E = 86$ G

答え： 86 G

解釈：
このボスを何度も倒していると、1回あたり平均して86ゴールド分の価値のあるアイテムが得られる、と期待できるわけだ。ゲームでどの敵を狩るのが効率的か、なんて考えるときにも使えそうだね。