ウルトラ先生の確率教室

第3章 条件付き確率 ～ある出来事が起こったという情報の下で～

3-2: 条件付き確率Conditional Probability の計算式と乗法定理Multiplication Rule

前のページでは、「事象Aが起こった」という条件のもとで「事象Bが起こる」確率 $P(B|A)$、つまり条件付き確率の基本的な考え方を学んだね。考える範囲（標本空間）が事象Aに絞られるイメージだった。

そして最後に、条件付き確率を計算する式として

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

を紹介したね。今回はこの計算式をもう少し詳しく見て、さらにこの式から導かれる「確率の乗法定理」について学んでいこう！

条件付き確率の計算式 (復習と解説)

事象Aが起こる確率 $P(A)$ が0より大きいとき、事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率 $P(B|A)$ は、次の式で計算できるんだったね。

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

ここで、

  • $\mathbf{P(B|A)}$: 求めたい条件付き確率（Aが起こった後でBが起こる確率）
  • $\mathbf{P(A \cap B)}$: 事象Aと事象Bが両方とも起こる確率（積事象の確率）。読み方は「AかつBの確率」。
  • $\mathbf{P(A)}$: 条件となる事象Aが起こる確率（事前確率prior probability とも呼ばれる）。

この式は、「事象Aが起こった」という範囲に注目したとき、その中で「さらに事象Bも起こっている（つまりAとBが両方起こっている）」部分の割合を見ている、と解釈できるんだ。

$P(B|A)$ は A の中で A∩B が占める割合

例題1：テストの点数と条件付き確率

あるクラスで、数学で80点以上取った生徒の割合は30% ($P(M)=0.3$)、英語で80点以上取った生徒の割合は20% ($P(E)=0.2$)、そして数学と英語の両方で80点以上取った生徒の割合は15% ($P(M \cap E)=0.15$) でした。

では、「数学で80点以上取った」という条件のもとで、「英語でも80点以上取っている」確率 $P(E|M)$ はいくつでしょう？

公式 $P(E|M) = \frac{P(M \cap E)}{P(M)}$ に当てはめてみよう。

$P(E|M) = \frac{0.15}{0.30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5$

答え： 0.5 (または 50%)

これは、「数学で80点以上取った生徒たち」だけを見てみると、そのうちの半数が英語でも80点以上だった、ということを意味しているね。

例題2：番号札と条件付き確率

1から10までの番号が書かれた札が1枚ずつ、合計10枚あります。この中から1枚を引く試行を考えます。

「引いた番号が偶数だった」という条件のもとで、「その番号が6以上である」確率 $P(\text{6以上} | \text{偶数})$ を計算してみましょう。

  • 事象A：「偶数」= {2, 4, 6, 8, 10} $\implies P(A) = \frac{5}{10}$
  • 事象B：「6以上」= {6, 7, 8, 9, 10} $\implies P(B) = \frac{5}{10}$
  • 事象 $A \cap B$：「偶数 かつ 6以上」= {6, 8, 10} $\implies P(A \cap B) = \frac{3}{10}$

公式 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ を使って、

$P(\text{6以上} | \text{偶数}) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}$

答え： $\frac{3}{5}$

（これは、偶数の{2, 4, 6, 8, 10}の5つの数字の中で、6以上の{6, 8, 10}が3つあることから $\frac{3}{5}$ となる、という直感的な考え方とも一致するね！）

確率の乗法定理Multiplication Rule（一般の場合）

条件付き確率の計算式 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ の両辺に $P(A)$ を掛けると、次の式が得られるね。

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

これを確率の乗法定理Multiplication Rule と言うんだ。これは、事象Aと事象Bが両方とも起こる確率（積事象の確率）を計算するための、とても重要な公式だよ。

この式が言っているのは、「まず事象Aが起こり、次に（Aが起こったという条件の下で）事象Bが起こる」という連続した出来事の確率を考えているんだ。

もちろん、順番を逆にして考えても同じことだから、

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$

も成り立つよ。（$P(A|B)$ は、Bが起こった条件でのAの確率）

独立な場合との関係：

もし事象Aと事象Bが独立だったら、$P(B|A) = P(B)$ だったよね。だから、独立な場合は乗法定理が

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

となって、前のページで学んだ独立事象の乗法定理とちゃんと一致するんだ！

例題3：くじ引きで2人とも当たる確率（非復元）

袋の中に当たりくじが2本、はずれくじが3本、合計5本入っている。A君、B君の順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない（非復元抽出）。このとき、A君もB君も当たる確率 $P(\text{A当たり} \cap \text{B当たり})$ を求めよ。

考え方：

これは独立ではない例だね。A君の結果がB君の確率に影響する。

  • 事象A: A君が当たる $\implies P(A) = \frac{2}{5}$
  • 事象B: B君が当たる
  • $P(B|A)$: A君が当たった後で、B君が当たる確率。
    A君が当たった後、くじは残り4本で、その中に当たりは1本。だから、$P(B|A) = \frac{1}{4}$。

乗法定理 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ を使って、

$P(\text{A当たり} \cap \text{B当たり}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

答え： $\frac{1}{10}$

樹形図で考えると分かりやすい

例題4：製品と不良品の確率

ある製品は、工場Aで作られる確率が60% ($P(A)=0.6$)、工場Bで作られる確率が40% ($P(B)=0.4$) である。

工場Aで作られた製品が不良品である確率（条件付き確率）は3% ($P(\text{不良}|A)=0.03$)。

工場Bで作られた製品が不良品である確率（条件付き確率）は5% ($P(\text{不良}|B)=0.05$)。

製品を1つランダムに選んだとき、それが「工場Aで作られた不良品」である確率 $P(A \cap \text{不良})$ を求めてみよう。

乗法定理 $P(A \cap \text{不良}) = P(A) \times P(\text{不良}|A)$ を使うよ。

$P(A \cap \text{不良}) = 0.6 \times 0.03 = 0.018$

答え： 0.018 (または 1.8%)

(ちなみに、「工場Bで作られた不良品」である確率は $P(B \cap \text{不良}) = P(B) \times P(\text{不良}|B) = 0.4 \times 0.05 = 0.020$ (2.0%) となるね。)

まとめ

条件付き確率と乗法定理は、確率の問題を解く上でとても大切だから、しっかり理解しておこうね！

このページで出てきたEnglish wordsとその仲間たち

英単語 (English) 意味 (Meaning) 例文 (Example Sentence) 例文の読み上げ 例文の日本語訳
Conditional Probability Formula 条件付き確率の公式 The conditional probability formula is $P(B|A) = P(A \cap B) / P(A)$. ▶ 再生 条件付き確率の公式は $P(B|A) = P(A \cap B) / P(A)$ です。
Multiplication Rule (general) 乗法定理（一般） The general multiplication rule is $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$. ▶ 再生 一般の乗法定理は $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ です。
Joint Probability 同時確率 ($P(A \cap B)$のこと) The joint probability $P(A \cap B)$ is the probability that both events A and B occur. ▶ 再生 同時確率 $P(A \cap B)$ は、事象AとBの両方が起こる確率です。
Prior Probability 事前確率 ($P(A)$など、条件付け前の確率) $P(A)$ is sometimes called the prior probability of A. ▶ 再生 $P(A)$ は、Aの事前確率と呼ばれることがあります。
Posterior Probability 事後確率 ($P(A|B)$など、条件付け後の確率) Bayes' theorem relates prior probability to posterior probability $P(A|B)$. ▶ 再生 ベイズの定理は、事前確率を事後確率 $P(A|B)$ に関連付けます。
Tree Diagram 樹形図 A tree diagram can help visualize sequences of events and their probabilities. ▶ 再生 樹形図は、一連の事象とその確率を視覚化するのに役立ちます。