ウルトラ先生の確率教室

単位区間は「10分間」で、平均発生回数 $\lambda = 20$。求めたい発生回数 $k=15$。

公式に代入すると、

$P(X=15) = \frac{e^{-20} \times 20^{15}}{15!}$

この計算は大変！ $e^{-20}$ はものすごく小さい値だし、$20^{15}$ や $15!$ はとても大きな値になる。こういうときは計算ツールを使おう。

(計算ツールを使うと) $e^{-20} \approx 2.061 \times 10^{-9}$

$20^{15} \approx 3.277 \times 10^{19}$

$15! \approx 1.308 \times 10^{12}$

$P(X=15) \approx \frac{(2.061 \times 10^{-9}) \times (3.277 \times 10^{19})}{1.308 \times 10^{12}} \approx \frac{6.756 \times 10^{10}}{1.308 \times 10^{12}} \approx 0.05165$

これは、$P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=18)$ を計算する必要がある。

$P(X \le 18) = \sum_{k=0}^{18} \frac{e^{-20} 20^k}{k!}$

これも手計算はほぼ不可能だね。統計計算ソフトやExcelの関数 (POISSON.DIST(18, 20, TRUE)) などを使うと計算できるよ。

(計算ツールを使うと)

今度は単位区間が「1分間」に変わった！だから、まず1分間あたりの平均アクセス数 $\lambda'$ を計算しないといけない。

10分あたり平均20回なので、1分あたりでは…

$\lambda' = \frac{20 \text{回}}{10 \text{分}} = 2 \text{回/分}$

新しい $\lambda = 2$ と、求めたい回数 $k=2$ で公式を使う。

$P(Y=2) = \frac{e^{-2} \times 2^2}{2!} = \frac{e^{-2} \times 4}{2} = 2e^{-2}$

$e^{-2} \approx 0.1353$ なので、

$P(Y=2) \approx 2 \times 0.1353 = 0.2706$

検査する面積（単位区間）が $2 m^2$ になったので、この面積あたりの平均欠陥数 $\lambda'$ をまず計算する。

$\lambda' = (\text{1} m^2 \text{あたりの平均}) \times (\text{面積}) = 0.5 \text{個/}m^2 \times 2 m^2 = 1.0 \text{個}$

新しい $\lambda = 1.0$ と、求めたい回数 $k=0$ で公式を使う。

$P(X=0) = \frac{e^{-1.0} \times (1.0)^0}{0!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1}$

$e^{-1} \approx 0.3679$

「2つ以上」($k=2, 3, 4, \dots$) の確率を直接足すのは無限に続くので大変だ。

こういうときは、反対の事象（余事象）である「欠陥が1つ以下」（つまり $k=0$ または $k=1$）の確率を計算して、全体の確率 1 から引くのが楽だよ。

単位区間は $2 m^2$ なので、$\lambda=1.0$ を使う。

まず $P(X=0)$ は (a) で計算済み： $P(X=0) \approx 0.3679$

次に $P(X=1)$ を計算：

$P(X=1) = \frac{e^{-1.0} \times (1.0)^1}{1!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1} \approx 0.3679$

「欠陥が1つ以下」の確率 $P(X \le 1)$ は、これらを足し合わせる（$k=0$ と $k=1$ は排反なので）。

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0.3679 + 0.3679 = 0.7358$

最後に、求めたい「欠陥が2つ以上」の確率 $P(X \ge 2)$ は、

$P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)$