ウルトラ先生の確率教室

1. 離散型確率分布 (Discrete Probability Distribution)

確率変数が離散型（飛び飛びの値をとる）の場合、その確率分布は、各値 $x_k$ に対して、その値をとる確率 $P(X=x_k)$ を示すことで表現できるよ。

表現方法1：確率分布表

一番わかりやすいのが、表を使う方法だ。上の行に $X$ がとる値 $x_k$ を、下の行に対応する確率 $P(X=x_k)$ を書き並べるんだ。

例：サイコロ1個の目の確率分布表

$X=x_k$ (出る目)	1	2	3	4	5	6	合計
$P(X=x_k)$ (確率)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	1

例：コイン3回投げの表の回数 $X$ の確率分布表 ($B(3, 0.5)$)

$X=k$ (表の回数)	0	1	2	3	合計
$P(X=k)$ (確率)	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	1

重要な性質：離散型確率分布では、すべての可能な値に対する確率 $P(X=x_k)$ を合計すると、必ず 1 になるよ！ $\sum_k P(X=x_k) = 1$

表現方法2：確率質量関数 (Probability Mass Function, PMF)

確率 $P(X=x)$ を、$x$ の関数（式）として表す方法もあるんだ。これを確率質量関数 (PMF) と呼ぶよ。$f(x) = P(X=x)$ と書くことが多い。

• 例：サイコロの目の場合、$f(x) = \frac{1}{6} \quad (\text{ただし } x=1, 2, 3, 4, 5, 6)$
• 例：二項分布 $B(n, p)$ の場合、$f(k) = P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k} \quad (\text{ただし } k=0, 1, \dots, n)$

(PMFという言葉は少し専門的だけど、「確率を計算するための式」だと思っておけばOKだよ)

表現方法3：棒グラフ

横軸に確率変数の値 $x_k$、縦軸に確率 $P(X=x_k)$ をとって、棒グラフで表す方法もある。これなら分布の形が一目でわかるね。

2. 連続型確率分布 (Continuous Probability Distribution)

確率変数が連続型（ある範囲の任意の値をとる）の場合、話が少し変わってくるんだったね。

連続型では、$X$ が特定の値 $x$ ピッタリになる確率 $P(X=x)$ は 0 になってしまう。だから、離散型のような確率分布表や棒グラフ（高さが確率を表すもの）では表現できないんだ。

その代わりに、確率の「密度」を表す関数を使って分布を表現するよ。

表現方法：確率密度関数 (Probability Density Function, PDF)

確率密度関数 (PDF) とは、連続型確率変数 $X$ の確率分布を表す関数 $f(x)$ のことだ。この関数自体が確率を表すわけではないんだけど、この関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積areaが確率に対応するんだ！

確率密度関数 $f(x)$ には、次のような性質があるよ。

• 常に $f(x) \ge 0$ （グラフはx軸より上にあるか、x軸上に接する）。
• グラフ $y=f(x)$ とx軸で囲まれた部分の全体の面積は必ず 1 になる。（これは、確率の合計が1になることに対応するよ）。
  （数学の記号では $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ と書くけど、今は「全区間の面積＝１」と覚えておこう）
• 確率変数 $X$ が $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率 $P(a \le X \le b)$ は、グラフ $y=f(x)$ の下で、$x=a$ から $x=b$ までの区間の面積に等しくなる。
  （これも記号では $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$ と書くよ）

下の図は、連続型確率分布のイメージだよ。なだらかな曲線（これがPDF $f(x)$）の下の、色が付いている部分の面積が、$X$ が $a$ と $b$ の間の値をとる確率 $P(a \le X \le b)$ を表しているんだ。

どんな形の曲線（PDF）になるかは、確率変数がどんな現象を表しているかによって決まるんだ。代表的な連続型確率分布としては、

• 正規分布（平均値の周りに集まる、左右対称の釣鐘型）
• 一様分布（ある区間で、どの値も同じように出やすい）
• 指数分布（何かが起こるまでの待ち時間など）

などがあるよ。これらについては、第8章で詳しく見ていくからね！